椭圆轨道线速度与时间的关系?

搜了半天,维基上只有线速度和距离的关系

在还知道轨道离心率或半短轴或远/近拱点高度的情况下如何计算轨道线速度与时间的关系?
数学学得不好,解了半天解不出来。想用 Mathematica 求数值解也以失败告终
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用高中数学知识可以求出距离和角度的关系


其中 为从近拱点开始走过的角度
从而可以得到速度和角度的关系 ,但之后的积分超出的我的能力
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其实背景是我想用3Ds Max做一个闪电轨道练练手,结果发现不好模拟轨道速度,不知道@POCKN 有没有遇到过这种情况?

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3个答案

LePtC物理学博士生

2014-07-26 09:48

很简单呀,就用极坐标下有心力的方程嘛:

第一个方程是加速度在极坐标下的表达式,引力始终沿径向,第二个方程是面积速度守恒,用它可以代替

然后交给 Matica 酱,“啪”地一下结果就出来啦 ~

看到求解结果的我眼泪掉下来 ...

Matica 酱傲娇了,这个结果根本没法用嘛 ...

有时间再试试手算解微分方程吧,顺手 @邪兵魔将 @SpaceXploration @章鱼喵.时见疏星

还是数值解大法好,先上个数值解的结果吧

闪电轨道是指近地点很近,远地点很高,这里我就取个扁得比较夸张的参数吧,看得更清楚

这里用到了一个公式 ,πab 是椭圆的面积,T 是周期 12 小时

导出了一个动画,演示面积速度守恒,两根线之间的时间差是一小时


线速度随时间变化的图像是酱的,不造对不对 ...

放大了一下那个尖,原来是光滑的,如果有不可导点那肯定就不对了


(这么变态的函数一定是超越的,嗯嗯 ...)

距离随时间变化的图像

注:数值解出来的周期不为 12 小时,约为 10.4 小时,可能是初始参数设置的问题


我找到了运动方程的参数形式的解,给这帮人吊炸天的变形技巧跪了 ...

(金尚年 等,理论力学(第二版),高等教育出版社,78 页)

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